Практическая работа 1 по статистике. Решение задач по математической статистике

В рамках образовательной программы вуза вряд ли встретишь отдельную дисциплину с названием «математическая статистика», однако элементы математической статистики часто изучаются в совокупности с теорией вероятностей , но только после изучения основного курса теории вероятностей.

Математическая статистика: общие сведения

Математическая статистика – это раздел математики, который разрабатывает методы регистрации, описания и анализа данных каких-либо наблюдений и экспериментов, целью которых является построение вероятностных моделей массовых случайных явлений.

Математическая статистика как наука возникла в XVII в. и развивалась параллельным курсом с теорией вероятностей. Большой вклад в развитие науки внесли в XIX-XX вв. Чебышев П.Л., Гаусс К., Колмогоров А.Н. и др.

Общая задача математической статистики заключается в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Основными разделами математической статистики являются:

• выборочный метод (ознакомление с понятием выборки, способами сбора и обработки данных и т.д.);
• статистическая оценка параметров выборки (оценки, доверительные интервалы и т.д.);
• расчет сводных характеристик выборки (расчет вариант, моментов и т.д.);
• теория корреляции (уравнения регрессии и т.д.);
• статистическая проверка гипотез;
• однофакторный дисперсионный анализ.

К наиболее распространенным задачам математической статистики, которые изучаются в вузе и часто встречаются на практике, относятся:

• задачи определения оценок параметров выборки;
• задачи на проверку статистических гипотез;
• задачи определения вида закона распределения по статистическим данным.

Задачи определения оценок параметров выборки

Изучение математической статистики начинается с определения таких понятий как «выборка», «частота», «относительная частота», «эмпирическая функция», «полигон», «кумулята», «гистограмма» и т.д. Далее идет изучение понятий оценок (смещенная и несмещенная): выборочная средняя, дисперсия, исправленная дисперсия и т.д.

Задача

Измерение роста детей младшей группы детского сада представлено выборкой:
92, 96, 95, 96, 94, 97, 98, 94, 95, 96.
Найдем некоторые характеристики этой выборки.

Решение

Размер выборки (число измерений; N ): 10.
Наименьшее значение выборки: 92. Наибольшее значение выборки: 98.
Размах выборки: 98 – 92 = 6.
Запишем ранжированный ряд (варианты в порядке возрастания):
92, 94, 94, 95, 95, 96, 96, 96, 97, 98.
Сгруппируем ряд и запишем в таблицу (каждой варианте поставим в соответствие число ее появлений):

Вычислим относительные частоты и накопленные частоты, результат запишем в таблицу:

Построим полигон частот выборки (отметим на графике варианты по оси ОХ, частоты по оси OY, соединим точки линией).

Выборочную среднюю и дисперсию вычислим по формулам (соответственно):

Можно находить и другие характеристики выборки, но для общего представления вполне достаточно найденных характеристик.

Задачи на проверку статистических гипотез

Задачи, относящиеся к данному типу, сложнее задач предыдущего типа и их решение зачастую более объемно и трудоемко. Прежде чем приступать к решению задач, сначала изучаются понятия статистической гипотезы, нулевой и конкурирующей гипотезы и т.д.

Рассмотрим простейшую задачу данного типа.

Задача

Даны две независимые выборки объема 11 и 14, извлеченные из нормальных совокупностей X, Y. Известны также исправленные дисперсии, равные соответственно 0,75 и 0,4. Необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при уровне значимости γ =0,05. Конкурирующую гипотезу выбрать по желанию.

Решение

Нулевая гипотеза для нашей задачи записывается следующим образом:

В качестве конкурирующей гипотезы рассмотрим следующую:

Вычислим отношение большей исправленной дисперсии к меньшей и получим наблюдаемое значение критерия:

Так как конкурирующая гипотеза, которую мы выбрали, имеет вид , то критическая область является правосторонней.
По таблице для уровня значимости 0,05 и числам степеней свободы равным 10 (11 – 1 = 10) и 13 (14 – 1 = 13) соответственно найдем критическую точку:

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического значения (1,875<2,67), то нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Таким образом, исправленные дисперсии различаются между собой незначимо.

Рассмотренная задача непроста на первый взгляд, но вполне стандартна и решается по шаблону. Друг от друга такие задачи отличаются, как правило, значениями критериев и критической областью.

Более трудоемкими (так как содержат много вычислений, часть из которых сводится в таблицы) являются задачи на проверку гипотезы о типе распределения генеральной совокупности. При решении таких задач используются различные критерии, например, критерий Пирсона.

Задачи определения вида закона распределения по статистическим данным

Данный тип задач относится к разделу, изучающему элементы теории корреляции. Если рассматривать зависимости Y от Х, то тогда можно было бы вспомнить метод наименьших квадратов для определения вида зависимости. Однако в математической статистике все гораздо сложнее и в теории корреляции рассматриваются двумерные величины, значения которых, как правило, задаются в виде таблиц.

Приведем формулировку одной из задач данного раздела.

Задача

Определить выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х. Данные приведены в корреляционной таблице.

Заключение

В заключении отметим, что уровень сложности задач по математической статистике достаточно сильно разнится при переходе от одного типа к другому. Задачи первого типа достаточно просты и не требуют особого понимания теории, можно просто выписать формулы и решить практически любую задачу. Задачи второго и третьего типа немного сложнее и для их успешного решения необходим определенный «багаж знаний» по данной дисциплине.

Приведем список всего из двух книг, но именно эти книги для автора статьи уже давно стали настольными.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие. – 12-е изд., перераб. – М.: ИД Юрайт, 2010. – 479 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2005. – 404 с.

Решение математической статистики на заказ

Желаем удачи в освоении математической статистики. Будут проблемы — обращайтесь . Будем рады помочь!

На этой странице выложено большое количество решенных задач по статистике - от простых до сложных, с запутанными условиями. Эти типовые примеры предназначены для самостоятельной работы студентов экономических и управленческих специальностей ВУЗов. Тематика охватывает весь курс общей теории статистики, основные разделы курса социально-экономической статистики и статистики предприятия. Решения содержат пояснения и выводы.

Задачи с решениями по математической статистике находятся в разделе сайта Теория вероятностей и математическая статистика

О платной помощи студентам с учебой можно почитать на странице

Кратко рассматривается статистическая сводка и группировка, виды группировок, а также формула Стерджесса. Приведен пример решения задачи на группировку статистической совокупности.

1. Относительные показатели планового задания и выполнения плана

Рассматриваются относительные показатели планового задания, выполнения плана, динамики и их взаимосвязь между собой. Приведены примеры расчета рассматриваемых относительных величин.

На странице рассмотрен расчет относительных показателей структуры (ОВС) и координации (ОВК). Приведены примеры расчета рассматриваемых относительных величин.

На странице рассматриваются относительные показатели динамики (ОВД) и интенсивности (ОВИ). Приведены примеры расчета рассматриваемых относительных величин.

Решено несколько задач по статистике на использование средних величин. Приведены примеры вычислений средней арифметической простой, средней арифметической взвешенной, средней гармонической взвешенной. Решение задач предваряет краткая теория.

Рассматривается понятие средней хронологической величины в рядах динамики, виды средней хронологической. Приведены примеры расчета средней хронологической для моментных и интервальных рядов с равноотстоящими и неравноотстоящими интервалами.

Описание структурных средних дискретного и интервального рядов. На примерах решения задач показан расчет показателей - моды, медианы, квартилей, децилей.

В приведенной на странице задаче показано вычисление абсолютных и относительных показателей вариации интервального ряда - размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, коэффициент вариации.

На странице рассмотрена задача на правило сложения дисперсий и сопутствующий расчет средней внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.

Вычисление числовых характеристик выборки. Рассчитаны такие характеристики как выборочная средняя, мода и медиана, средний квадрат отклонений (дисперсия), выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Приведен пример вычисления предельной ошибки выборочной средней и выборочной доли, а также границ генеральной средней и удельного веса.

Страница содежит описание методов выборочного наблюдения, приведены формулы для расчета средней и предельной ошибок выборки. Изложены сведения по методам собственно-случайного отбора, механической выборки, типической (районированной) выборки, серийной выборки. Привена таблица с формулами для определения численности выборки при различных методах отбора.

Приведена краткая теория и рассмотрен пример решения задачи на расчет коэффициента корреляции знаков Фехнера.

Формула и смысл коэффициента линейной корреляции Пирсона, значимость линейного коэффициента корреляции. Страница содержит краткую теорию и типовой пример по расчету коэффициента корреляции Пирсона и проверке его значимости.

Содержится краткая теория и пример решения задачи на ранговую корреляцию. Дано понятие ранговой корреляции, показан расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

На странице рассмотрено применение ранговой корреляции и коэффициента ранговой корреляции Кендалла в статистике. Приведена краткая теория, а также задача с примером расчета коэффициента Кендалла с проверкой гипотезы о его значимости.

Рассмотрено вычисление эмпирического корреляционного отношения и эмпирического коэффициента детерминации, на примере показан расчет внутригрупповой и межгрупповой дисперсии.

Дана краткая теория и на примере решения задачи показан расчет коэффициентов ассоциации и контингенции.

2. Коэффициенты взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона

Страница содержит сведения по методам изучения взаимосвязей между качественными признаками с помощью коэффициентов взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона.

На странице рассмотрены задачи на ряды динамики. Показано вычисление цепных, базисных и средних показателей динамики, а также недостающих уровней динамических рядов. Приведены формулы цепных, базисных и средних абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста.

Страница содержит последовательное и систематизированное изложение проверенных практикой методов обработки динамических рядов - метода скользящей средней и метода укрупнения интервалов.

Представлены базовые методы индексного анализа. В решенных задачах рассчитаны индивидуальные и общие индексы цен, себестоимости, физического объема, стоимости товарооборота и затрат, а также показано разложение абсолютного прироста по факторам. Приведен расчет средних индексов - индексов цен и себестоимости переменного и постоянного составов, а также индекс структурных сдвигов. Показано разложение абсолютного прироста средней цены и себестоимости на факторы.

Приведен пример решения задачи на вычисление индексов цен Пааше, Ласпейреса, Фишера, а также индексов физического объема Ласпейреса и Пааше. Показана взаимосвязь между исчисленными индексами.

Изложена методика расчета календарного, табельного и максимально-возможного фондов рабочего времени, а также коэффициентов их использования. Содержатся сведения по составлению балансов рабочего времени на предприятии. Рассматриваются коэффициенты использования рабочего дня, рабочего периода, а также интегральный показатель использования рабочего времени.

Решена задача с вычислением уровня и динамики производительности труда. Рассчитаны индексы средней производительности труда - индекс переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов. Показано разложение на факторы прироста продукции, вычисление числа высвободившихся работников в связи с ростом производительности.

В представленной на странице задаче вычислены индексы средней заработной платы переменного состава, постоянного состава, структурных сдвигов, показано разложение на факторы изменения средней заработной платы и фонда заработной платы.

Примечание:

Первым делом нажать «Вид», там поставить Галку на «Схема документа». Это и есть содержание. С помощью этого можно ходить по документу.

Ответственная за выпуск: Курашева Татьяна Александровна

Составители: Борисова Елена Григорьевна (I – 3, 4); Галкин Сергей Алексеевич (I – 5, II – 1); Григорук Наталия Евгеньевна (I – 6); Куликова Наталия Ивановна (I – 2); Курашева Татьяна Александровна (II – 3); Курникова Елена Леонидовна (I – 1, II – 9); Мальцева Галина Александровна (II – 5, 6); Онучак Виктор Александрович (II – 7); Симонова Марина Демьяновна (II – 8); Тарлецкая Лидия Владимировна (II – 2, 3)

Часть I. Общая теория статистики

Тема 1. Сводка и группировка. Статистические таблицы и графики Задачи и решения

Задача 1

На фирме с числом занятых в 50 чел. в ходе статистического наблюдения были получены следующие данные о стаже рабочих и служащих:

Составьте ранжированный (в порядке возрастания) ряд распределения;

Постройте дискретный ряд распределения;

Произведите группировку, образовав 7 групп с равными интервалами;

Результаты группировки представьте в таблице и проанализируйте их.

Решение

Задача 2

Имеются следующие данные о годовом обороте по 20 магазинам города:

На основе этих данных составьте:

Ряды распределения магазинов:

1. По размеру товарооборота и количеству магазинов;

   По числу рабочих мест и количеству магазинов;

Комбинационную таблицу, разбив все магазины на 5 групп по размеру товарооборота, а в сказуемом таблицы выделите 4 подгруппы по числу рабочих мест.

Решение

Задача 3

По итогам исследования затрат времени сотрудников фирмы на дорогу к месту работы имеются следующие данные (в млн.):

Сгруппируйте данные, образовав четыре группы

Результаты группировки оформите таблицей

Решение

Задача 4

Сумма продаж 50 филиалов крупного концерна за неделю составили следующие величины в тыс. долл.:

Составьте ранжированный ряд в порядке возрастания

Сгруппируйте данные:

1. Используя интервал равный 2 тыс. долл.

   Используя интервал равный 4 тыс. долл.

В какой из группировок потеря информации будет большей?

Решение

Задача 5

Располагая данными о динамике мировой торговли, постройте статистическую таблицу.

Мировой импорт составил (в млрд. долл.):

2000г. – 6230, 2001г. – 5995, 2002г. – 6147, 2003г. – 7158, 2004г. – 8741, 2005г. – 9880, 2006г. – 11302

Мировой экспорт характеризовался за соответствующие годы следующими данными (млрд.долл.):

6026, 5824, 7003, 8517, 9676, 11191.

Источник : Monthly Bulletin of Statistics, New York, UN, 2005. №6. P. 114

Решение

Задача 6

Имеются следующие данные о географическом распределении мировой торговли за 2006 год (в млрд.долл.): мировой экспорт – 11191; экспорт стран ЕС – 4503; РФ – 301; Китай – 969; США – 1038; ФРГ – 1126; Япония – 650.

Подсчитайте долю указанных стран в мировой торговле и оформите эти данные в виде таблицы, а также изобразите их графически.

Источник : Monthly Bulletin of Statistics, New York, YN, 2007. №6. P.114, 118, 129, 139, 136.

Решение

Задача 7

Как эксперту кредитного учреждения Вам необходимо составить макет таблицы, дающей представление о количестве предоставленных Вашей организации кредитов за 5 лет. При этом Вы должны отразить сроки предоставления кредитов (долгосрочные, среднесрочные, краткосрочные) и сумму кредитов, как в абсолютном выражении, так и в % к итогам.

Решение

Задача 8

Имеются следующие данные о численности и стаже работы сотрудников организации на начало текущего года:

Руководители отделов и их заместители со стажем работы

до 3 лет – 6,

до 6 лет – 8,

до 10 лет – 11,

лет и выше – 5.

Работники бухгалтерии со стажем работы

до 3 лет – 3,

до 6 лет – 7,

до 10 лет – 12,

10 лет и выше – 12.

Работники отделов со стажем работы

до 3 лет – 40,

до 6 лет – 26,

до 10 лет – 21,

10 лет и выше – 53.

На основе этих данных постройте статистическую таблицу, в подлежащем которой приведите типологическую группировку; разбейте каждую группу работников на подгруппы по стажу работы.

Решение

Задача 9

По данным о размере жилой площади, приходящейся на 1 человека, по двум районам города в 2006 году произведите перегруппировку, взяв за основу группы семей во 2­ ом районе.

Решение

Задача 10

Имеются следующие данные по 2 филиалам фирмы:

Произведите вторичную группировку данных с целью приведения их к сопоставимому виду, проведите сравнительный анализ результатов.

Решение

Задача 11

Имеются следующие данные о распределении продовольственных магазинов фирмы «Омега» по величине товарооборота за квартал (данные условные):

На основе этих данных произведите вторичную группировку, разбив указанную совокупность магазинов на новые группы:

До 100 тыс. у.е.: 100 – 250; 250 – 400; 400 – 700; 700 – 1000; 1000 тыс.у.е. и выше.

Решение

Задача 12

По данным о рождаемости и смертности в некоторых странах мира постройте линейные графики (в промилле):

Источник : Monthly Bulletin of Statistics, New York, UN, 2007. №6. P. 8, 9, 10, 11; China Statistical Yearbook, 2005, China Statistical Press, 2005. P. 93.

Решение

Задача 13

Товарная структура экспорта РФ в 2005 году характеризовалась следующими данными в (%):

Департамент образования города Москвы

ГБОУ СПО города Москвы«Московский государственный колледж книжного бизнеса и информационных технологий»

для специальности: 080114 ЭКОНОМИКА И БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ

Рассмотрены на заседании

Предметной (цикловой) комиссии

бухгалтерского учета

и экономических дисциплин

2012 год

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Освоение дисциплины «Статистика» предлагает практическое осмысление ее разделов и тем на практических занятиях, которые должны способствовать формированию у обучающегося общих и профессиональных компетенций, приобретению необходимых умений, закреплению и углублению теоретических знаний.

Освоение дисциплины является частью освоения основного вида профессиональной деятельности и соответствующих общих (ОК) и профессиональных компетенций (ПК):

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Ставить цели, мотивировать деятельность подчиненных, организовывать и контролировать их работу с принятием на себя ответственности за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.1. Обрабатывать первичные бухгалтерские документы.

ПК 1.3. Проводить учет денежных средств, оформлять денежные и кассовые документы.

ПК 2.2. Проводить подготовку к инвентаризации и проверку действительного соответствия фактических данных инвентаризации данным учета.

ПК 4.1. Отражать нарастающим итогом на счетах бухгалтерского учета имущественное и финансовое положение организации, определять результаты хозяйственной деятельности за отчетный период.

ПК 4.4. Проводить контроль и анализ информации об имуществе и финансовом положении организации, ее платежеспособности и доходности.

ПК 5.1. Организовывать налоговый учет.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен:

Уметь:

1. собирать и регистрировать статистическую информацию;
2. проводить первичную обработку и контроль материалов наблюдения;
3. выполнять расчёты статистических показателей и формулировать основные выводы;
4. осуществлять комплексный анализ изучаемых социально-экономических явлений и процессов, в том числе с использованием средств вычислительной техники.

По учебному плану на практические занятия предусмотрено 20 аудиторных часов, обучающиеся должны выполнить 10 практических работ

. для организации самостоятельной внеаудиторной работы обучающихся Примерный порядок проведения практических работ

1. Повторение теоретических основ по теме практической работы

2. Выдача индивидуальных заданий и методических рекомендаций по их выполнению.

3. Инструктаж преподавателя по порядку выполнения и оформления практической работы.

5. Самостоятельная аудиторная работа студентов по выполнению задания

6. Контроль преподавателя за ходом выполнения задания.

7. Консультирование по возникающим вопросам по выполнению задания.

8. Проверка правильности выполнения и оформления практической работы.

Критерии оценки практических работ

Оценка «5» - ставится, если студент демонстрирует знание теоретического и практического материала по теме практической работы, определяет взаимосвязи между показателями задачи, даёт правильный алгоритм решения, формулирует выводы, определяет междисциплинарные связи по условию задания, показывает усвоение взаимосвязи основных понятий используемых в работе, смог ответить на все уточняющие и дополнительные вопросы.

Оценка «4» - ставится, если студент демонстрирует знание теоретического и практического материала по теме практической работы, допуская незначительные неточности при решении задач, формулирует выводы, имея неполное понимание междисциплинарных связей при правильном выборе алгоритма решения задания, смог ответить почти полно на все заданные дополнительные и уточняющие вопросы.

Оценка «3» - ставится, если студент затрудняется с правильной оценкой предложенной задачи, выбор алгоритма решения задачи возможен при наводящих вопросах преподавателя, затрудняется в формулировке выводов, ответил не на все уточняющие вопросы преподавателя.

Оценка «2» - ставится, если студент дает неверную оценку ситуации, неправильно выбирает алгоритм действий, не может ответить на уточняющие вопросы, руководство и помощь со стороны преподавателя и хорошо подготовленных студентов неэффективны по причине плохой подготовки студента.

Студент, получивший оценку «2», должен подготовится и выполнить работу во внеурочное время.

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Тема 2.2. Сводка и группировка статистических данных

Практическая работа № 1

«Выполнение сводки и группировки статистических данных»

Цель: - научиться производить сводку, группировку и перегруппировку статистических данных.

уметь:

Выполнять простую сводку, структурную, аналитическую, комбинированную группировку и перегруппировку данных;

знать:

Принципы построения статистических группировок.

Основной частью практической работы со студентами является построение структурной и аналитической группировок на основе заранее подготовленной преподавателем матрицы исходных данных, содержащей индивидуальные данные о сравнительно небольшом числе единиц (10) совокупности и двух-трех показателях в статике.

В ходе выполнения практической работы закрепляются способы определения необходимого числа групп и ширины интервала, построения структурной и аналитической группировок.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Построение группировки начинается с определения состава группировочных признаков.

Группированным признаком называется признак, по которому проводится разбиение единиц совокупности на отдельные группы.

После того как определено основание группировки, следует решить вопрос о количестве групп, на которые надо разбить исследуемую совокупность.

Определение числа групп можно осуществить математическим путем с использованием формулы Стерджесса:

где п - число групп;

N - число единиц совокупности.

Когда определено число групп, то следует определить интервалы группировки.

Интервал - это значение варьирующего признака, лежащее в определенных границах. Каждый интервал имеет свою величину, верхнюю и нижнюю границы или хотя бы одну из них. Нижней границей интервала называется наименьшее значение признака в интервале, а верхней границей - наибольшее значение признака в интервале. Величина интервала представляет собой разность между верхней и нижней границами интервала.

Интервалы группировки в зависимости от их величины бывают равные и неравные.

Величина равного интервала определяется по следующей формуле:

где Хmax, и X min - максимальное и минимальное значения признака в совокупности;

п - число групп.

Правила округления шага интервала

Если величина интервала имеет один знак до запятой, то полученные значения целесообразно округлить до десятых.

Если рассчитанная величина интервала имеет две значащие цифры до запятой и несколько знаков после запятой, то это значение необходимо округлить до целого числа

Если рассчитанная величина интервала представляет собой трехзначное, четырехзначное и так далее число, то следует округлить до ближайшего числа, кратного 100 или 50.

Интервалы группировок могут быть закрытыми и открытыми.

Закрытыми называются интервалы, у которых имеются верхняя и нижняя границы. У открытых интервалов указана только одна граница: верхняя - у первого, нижняя - у последнего.

При обозначении границ может возникнуть вопрос, в какую группу включать единицы объекта, значения признака у которых совпадают с границами интервалов. Рекомендуется руководствоваться принципом:

нижняя граница - «включительно», а верхняя - «исключительно».

Произведем анализ 10 предприятий, применяя метод группировок.

1. Построим структурную группировку.

В качестве группировочного признака возьмем уставный капитал.

Образуем четыре группы банков с равными интервалами.

Величину интервала определим по формуле

Обозначим границы групп:

Группа Граница

1-я

2-я

3-я

4-я

Распределив предприятия по группам, подсчитаем число предприятий в каждой из них. Техника подсчета следующая: необходимо сделать выборку предприятий по величине, например, уставного капитала и распределить их по полученным выше группам. При этом каждая вертикальная палочка будет соответствовать одной единице совокупности, т. е. одному предприятию.

Группы предприятий Число предприятий

по величине уставного

капитала, млрд. руб.

После того как определен группировочный признак - уставный капитал, задано число групп - 4 и образованы сами группы, необходимо отобрать показатели, которые характеризуют группы, и определить их объемные показатели по каждой группе. Показатели, характеризующие предприятия, разносятся по указанным группам, и подсчитываются итоги по группам в разработочной таблице. Затем результаты группировки заносятся в сводную таблицу.

Сводная таблица имеет то же количество граф, но в нее переносятся только итоговые строки. Графа номер предприятия будет называться количество предприятий.

2. Построим аналитическую группировку. В качестве факторного (группировочного) признака примем уставный капитал, а результативного признака - работающие активы.

Порядок действий будет аналогичен. Итоговая таблица будет иметь вид

Практическая работа № 2

«Построение рядов распределения и их графическое изображение»

Цель: - научиться строить ряды распределения и изображать их графически.

Обеспечение практической работы:

Задания для выполнения работы.

В результате выполнения данной работы у студента должны формироваться общие и профессиональные компетенции.

В результате выполнения данной работы студент должен

уметь:

Строить ряды распределения и изображать их графически;

знать:

Принципы построения рядов распределения.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Вспомните основные понятия, относящиеся к данной теме:

Ряд распределения

Элементы ряда распределения (варианты и частоты, частости)

Атрибутивные ряды распределения

Вариационные ряды распределения

Дискретные и интервальные вариационные ряды

Накопленные частоты

Виды графиков, применяемых для изображения вариационных рядов (полигон распределения, гистограмма, кумулята, огива).

Алгоритм построения дискретного вариационного ряда

1. Выберете из имеющихся данных все числовые варианты изучаемого признака и расположите их в порядке возрастания.

2. Посчитайте, сколько раз встречается каждый вариант

3. Посчитайте долю каждого варианта в общем объеме совокупности

4. Посчитайте накопленные частоты

5. Результаты оформите в виде статистической таблицы

6. Постройте полигон распределения: в прямоугольной системе координат постройте точки, абсциссы которых - варианты, а ординаты - частоты, а затем соедините их отрезки прямой, получив ломаную линию.

7. Постройте кумуляту: в прямоугольной системе координат постройте точки, абсциссы которых - варианты, а ординаты – накопленные частоты, а затем соедините их отрезки прямой, получив ломаную линию.

8. Сделайте выводы.

Алгоритм построения интервального вариационного ряда

Принципы построения интервальных радов распределения аналогичны принципам построения статистических группировок!

1. Выберете группировочный признак.

2. Определите размах вариации.

3. Определите число групп.

4. Определите шаг (величину) интервала группировки.

5. Постройте интервалы группировки.

6. Распределите имеющиеся варианты изучаемого признака по группам и посчитайте количество вариантов, попавших в каждую группу.

7. Посчитайте долю каждого варианта в общем объеме совокупности.

8. Посчитайте накопленные частоты

9. Результаты оформите в виде статистической таблицы

10. Постройте гистограмму: в прямоугольной системе координат постройте столбики с основаниями, равными ширине интервалов, и высотой, соответствующей частоте.

11. Постройте кумуляту: в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываются варианты, а по оси ординат – накопленные частоты, которые наносятся на поле графика в виде перпендикуляров к оси абсцисс в верхних границах интервала.

12. Постройте огиву, поменяв местами оси абсцисс и ординат.

13. Сделайте выводы.

Тема 3.1. Статистические показатели

Практическая работа № 3

Расчет абсолютных и относительных показателей вариации

Цель: - научиться рассчитывать абсолютные и относительные показатели вариации по несгруппированным и сгруппированным данным.

Обеспечение практической работы:

В результате выполнения данной работы у студента должны формироваться общие и профессиональные компетенции.

В результате выполнения данной работы студент должен

уметь:

Рассчитывать и анализировать абсолютные и относительные показатели вариации по сгруппированным и несгруппированным данным;

знать:

Методы расчета абсолютных и относительных показателей вариации.

Основной частью практической работы со студентами является расчет абсолютных и относительных показателей вариации на основе заранее подготовленной преподавателем исходной информации, содержащей индивидуальные данные.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

При изучении социально-экономических явлений и процессов статистика встречается с разнообразной вариацией признаков, характеризующих отдельные единицы совокупности.

Для измерения и оценки вариации используют абсолютные и относительные характеристики.

Самая предварительная оценка рассеяния (вариации) по данным рядов распределения определяется с помощью вариационного размаха R , который показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака.

Среднее линейное отклонение а является обобщающей мерой вариации индивидуальных значений признака от средней арифметической величины. Она дает абсолютную меру вариации.

Если данные не сгруппированы, то расчет среднего линейного отклонения осуществляется по принципу невзвешенной средней, т.е.

Если данные вариации представлены вариационными рядами распределения, то расчет производится по принципу взвешенной средней, т.е.

Дисперсия σ 2 - это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней величины. Дисперсию используют не только для оценки вариации, но и при измерении взаимосвязей, для проверки статистических гипотез.

Она вычисляется по формулам:

Однако вследствие суммирования квадратов отклонений, дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, измеряя их в квадратных единицах. Поэтому на основе дисперсии вводятся еще две характеристики: среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Среднее квадратическое отклонение σ представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней, т.е. оно исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии и измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак.

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности, или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха, или среднего линейного отклонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (V):

Практическая работа № 4

Расчет структурных средних величин

Цель: - научиться рассчитывать структурные средние показатели по несгруппированным и сгруппированным данным.

Обеспечение практической работы:

Задание для выполнения работы.

В результате выполнения данной работы у студента должны формироваться общие и профессиональные компетенции.

В результате выполнения данной работы студент должен

уметь:

Рассчитывать и анализировать структурные средние показатели по сгруппированным и несгруппированным данным;

знать:

Методы структурных средних показателей.

Основной частью практической работы со студентами является расчет структурных средних вариационного ряда распределения на основе заранее подготовленной преподавателем исходной информации, содержащей индивидуальные данные.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Вспомним, структурных средних вариационного ряда распределения относят моду и медиану. Средняя величина характеризует типичный уровень признака в совокупности.

Мода (Мо) - значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость).

В дискретном ряду мода определяется визуально по максимальной частоте или частости.

В интервальном ряду по наибольшей частоте определяется модальный интервал, а конкретное значение моды в интервале вычисляется по формуле:

Медиана (Me) - значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части.

Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариантов, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами.

Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы:

В дискретном ряду распределения медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального вариационного ряда распределения конкретное значение медианы вычисляется по формуле

где Х 0 и i - соответственно нижняя граница и величина медианного интервала;

f мe - частота медианного интервала;

S Me-i - накопленная частота предмедианного интервала.

В симметричных рядах распределения значения моды и медианы совпадают со средней величиной (х =Ме = Мо), а в умеренно асимметричных они соотносятся таким образом:

Рассмотренные обобщающие показатели центра распределения не вскрывают характера последовательного изменения частот, поэтому в анализе закономерностей распределения используются так же ранговые (порядковые) показатели: квартили и децили.

Тема 3.2. Ряды динамики

Практическая работа № 5

«Анализ динамики изучаемых явлений»

Цель: - научиться рассчитывать абсолютные, относительные и средние показатели рядов динамики.

Обеспечение практической работы:

Задание для выполнения работы.

В результате выполнения данной работы у студента должны формироваться общие и профессиональные компетенции.

В результате выполнения данной работы студент должен

уметь:

- рассчитывать показатели динамики;

знать:

Методы расчета показателей динамики.

Основной частью практической работы со студентами является закрепление методов расчета показателей на основе заранее подготовленной преподавателем исходной информации, содержащей индивидуальные данные.

При изучении данной темы необходимо обратить особое внимание на вычисление средней хронологической взвешенной моментного ряда, среднего темпа роста и прироста с использованием рядов, по которым вычислялись показатели динамики.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Для выявления специфики развития изучаемых явлений за отдельные периоды времени определяют абсолютные и относительные показатели изменения ряда динамики абсолютные приросты, абсолютное значение одного процента прироста, темпа роста и прироста. Выяснение сущности- необходимое условие усвоения данной темы.

Рассматривая данные показатели, необходимо правильно выбирать базу сравнения, которая зависит от цели исследования.

При сравнении каждого уровня ряда с предыдущим получаются цепные показатели ; при сравнении каждого уровня с одним и тем же уровнем (базой) получают базисные показатели .

Для выражения абсолютной скорости роста (снижения) уровня ряда динамики исчисляют статистический показатель - абсолютный прирост (∆). Его величина определяется как разность двух сравниваемых уровней. Она вычисляется по формуле

где.уi - уровень i-го года;

У 0 - уровень базисного года.

Интенсивность изменения уровней ряда динамики оценивается отношением текущего уровня к предыдущему или базисному, которое всегда представляет собой положительное число. Этот показатель называется темп роста (Тр). Он выражается в процентах, т. е.

Темп роста может быть выражен и в виде коэффициента (Кр). В этом случае он показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше уровня базисного года или какую его часть он составляет.

Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах определяется темп прироста (Тпр), который рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню, т. е.

Темп прироста может быть вычислен также путем вычитания из темпов роста 100%, т. е. Тпр = Тр - 100.

Показатель абсолютного значения одного процента прироста |%| определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста, выраженный в процентах, т. е.

Расчет этого показателя имеет смысл только на цепной основе.

Особое внимание следует уделять методам расчета средних показателей рядов динамики, которые являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней. Методы расчета среднего уровня ряда динамики зависят от его вида и способов получения статистических данных.

В интервальном ряду динамики с равноотстоящими уровнями во времени расчет среднего уровня ряда (у) производится по формуле средней арифметической простой:

Если интервальный ряд динамики имеет неравноотстоящие уровни , то средний уровень ряда вычисляется по формуле

где i - число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле

где п - число уровней ряда.

Средняя хронологическая для неравноотстоящих уровней моментного ряда динамики вычисляется по формуле

Определение среднего абсолютного прироста производится по формуле

Или

Среднегодовой темп роста вычисляется по формуле средней геометрической:

где m - число коэффициентов роста.

Среднегодовой темп прироста получим, вычтя из среднего темпа роста 100%.

Практическая работа № 6

«Анализ основной тенденции ряда динамики»

Цель: - научиться выявлять и анализировать основную тенденцию в рядах динамики.

Обеспечение практической работы:

Задание для выполнения работы.

В результате выполнения данной работы студент должен

В результате выполнения данной работы у студента должны формироваться общие и профессиональные компетенции.

уметь:

- выявить и проанализировать основную тенденцию в рядах динамики с помощью сглаживания по уравнению прямой;

знать:

Методы анализа основной тенденции в рядах динамики.

Основной частью практической работы со студентами является закрепление приемов и методов изучения в рядах динамики основной тенденции развития явления на основе заранее подготовленной преподавателем исходной информации, содержащей индивидуальные данные.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени.

Аналитическое выравнивание может быть осуществлено по любому рациональному многочлену. Выбор функции производится на основе анализа характера закономерностей динамики данного явления.

Для выравнивания ряда динамики по прямой используется уравнение

у t = а 0 +а 1 t.

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров a 0 и a 1

где у - исходный уровень рада динамики;

n - число членов ряда;

t - показатель времени, который обозначается порядковыми номерами, начиная от низшего.

Решение системы уравнений позволяет получить выражение для параметров a 0 и a 1

В рядах динамики техника расчета параметров уравнения может быть упрощена. Для этой цели показателем времени придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю

При этом уравнения системы примут следующий вид:

откуда

В результате получается уравнение основной тенденции. Подставляя в уравнение принятые обозначения t, вычисляют выравненные уровни ряда динамики:

По окончании расчета основной тенденции целесообразно построить график, на котором следует изобразить исходные данные и теоретические значения уровней ряда.

Основная тенденция (тренд) показывает, как воздействуй систематические факторы на уровень ряда динамики, а колеблемость уровней около тренда служит мерой воздействия остаточных факторов. Ее можно измерить по формуле

среднее квадратическое отклонение.

Относительной мерой колеблемости является коэффициент вариации, который вычисляется по формуле

Практическая работа № 7

«Расчет индивидуальных и агрегатных индексов

Цель: научиться

Рассчитывать индивидуальные и агрегатные индексы;

Производить факторный анализ на основе индексного метода.

Обеспечение практической работы:

Задание для выполнения работы.

В результате выполнения данной работы у студента должны формироваться общие и профессиональные компетенции.

В результате выполнения данной работы студент должен

уметь:

Рассчитывать индивидуальные и общие индексы и проводить факторный анализ на основе индексного метода.

знать:

Основной частью практической работы со студентами является закрепление методов построения индивидуальных и сводных индексов на основе заранее подготовленной преподавателем исходной информации, содержащей индивидуальные данные.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Вспомним, что экономический индекс - это относительная величина, которая характеризует изменение исследуемого явления во времени, пространстве или по сравнению с некоторым эталоном.

Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс, который характеризует изменение во времени (или в пространстве) отдельных элементов той или иной совокупности. Так, индивидуальный индекс цены считывается по формуле

где р 1 цена товара в текущем периоде;

P 0 - цена товара в базисном периоде.

Оценить изменение объемов продажи товара в натуральных единицах измерения позволяет индивидуальный индекс физического объема реализации :

где q 1 - количество товара, реализованное в текущем периоде;

Q 0 - количество товара, реализованное в базисном периоде.

Изменение объема реализации товара в стоимостном выражении отражает индивидуальный индекс товарооборота:

Индивидуальные индексы, в сущности, представляют собой относительные показатели динамики или темпы роста и по данным за несколько периодов времени могут рассчитываться в цепной или базисной формах.

Сводный индекс - это сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из непосредственно несоизмеримых элементов. Исходной формой сводного индекса является агрегатная.

При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. Цены различных товаров, реализуемых в розничной торговле, складывать неправомерно, однако с экономической точки зрения вполне допустимо суммировать товарооборот по этим товарам. Если мы сравним товарооборот в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим сводный индекс товарооборота:

На величину данного индекса оказывает влияние изменение как цен на товары, так и объемов их реализации. Для того чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне. При исследовании динамики таких показателей, как цена, себестоимость, производительность труда, урожайность количественный показатель обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким способом получают сводный индекс цен (по методу Пааше)

Числитель данного индекса содержит фактический товарооборот текущего периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий и отражает имевшее место изменение цен.

Необходимо отметить, что сводный индекс цен можно получить и методом Ласпейреса, фиксируя количество проданного товара на базисном уровне:

Третьим индексом в данной индексной системе является сводный индекс физического объема реализации . Он характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения:

Весами в данном индексе выступают цены, которые фиксируется на базисном уровне.

Между рассчитанными индексами существует следующая взаимосвязь:

При анализе результатов производственной деятельности промышленного предприятия приведенные выше сводные индексы соответственно называются индексом стоимости продукции, индексом оптовых цен и индексом физического объема продукции.

Практическая работа № 8

«Расчет средних индексов»

Цель: научиться

Рассчитывать средние индексы;

Обеспечение практической работы:

Задание для выполнения работы.

В результате выполнения данной работы у студента должны формироваться общие и профессиональные компетенции.

В результате выполнения данной работы студент должен

уметь:

Рассчитывать средние арифметические и гармонические индексы.

знать:

Способы исчисления индексов;

Основной частью практической работы со студентами является закрепление методов построения средних индексов на основе заранее подготовленной преподавателем исходной информации, содержащей индивидуальные данные.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Вспомним, что п омимо агрегатных индексов в статистике применяется другая их форма - средневзвешенные индексы. К их исчислению прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс. Так, если отсутствуют данные о ценах, но имеется информация о стоимости продукции в текущем периоде и известны индивидуальные индексы цен по каждому товару, то нельзя определить общий индекс цен как агрегатный, но возможно исчислить его как средний из индивидуальных. Точно так же, если не известны количества произведенных отдельных видов продукции, но известны индивидуальные индексы и стоимость продукции базисного периода, можно определить общий индекс физического объема продукции как средневзвешенную величину.

Средний индекс - это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов.

При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая.

Средний арифметический индекс тождествен агрегатному индексу, если весами индивидуальных индексов будут слагаемые знаменателя агрегатного индекса. Только в этом случае величина индекса, рассчитанного по формуле средней арифметической, будет равна агрегатному индексу.

Средний арифметический индекс физического объема продукции вычисляется по формуле

Средний арифметический индекс производительности труда определяется следующим образом:

Так как if x t-i = to, то формула этого индекса может быть преобразована в агрегатный индекс трудоемкости продукции. Весами являются общие затраты времени на производство продукции в текущем периоде.

Средние арифметические индексы чаще всего применяются на практике для расчета сводных индексов количественных показателей.

Индексы других качественных показателей (цен, себестоимости и т. д.) определяются по формуле средней гармонической взвешенной величины.

Средний гармонический индекс тождествен агрегатному, если индивидуальные индексы будут взвешены с помощью слагаемых числителя агрегатного индекса. Например, индекс себестоимости можно исчислить так:

а индекс цен:

Таким образом, весами при определении среднего гармонического индекса себестоимости являются издержки производства текущего периода, а индекса цен - стоимость продукции этого периода.

Тема 3.4 Выборочное наблюдение

Практическая работа № 9

"Составление плана выборочного наблюдения"

Цель: - научиться составлять план выборочного наблюдения.

Обеспечение практической работы:

Задание для выполнения работы.

В результате выполнения данной работы у студента должны формироваться общие и профессиональные компетенции.

В результате выполнения данной работы студент должен

Уметь:

Составлять план выборочного наблюдения;

Знать:

Основные показатели и практику применения выборочного наблюдения

Способы формирования выборочной совокупности и методы определения необходимого объема выборки.

Основной частью практической работы со студентами является составление плана выборочного статистического наблюдения.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

По охвату единиц изучаемой совокупности статистическое наблюдение подразделяется на сплошное и несплошное. Несплошным называется наблюдение, при котором учету подвергаются не все, а только часть единиц изучаемой совокупности, но часть эта должна быть достаточно массовой, чтобы обеспечить получение обобщающихся статистических показателей.

Выборочное наблюдение является основной формой несплошного наблюдения.

Совокупность единиц, из которых производится отбор, называется генеральной. Количество единиц, отобранных из генеральной совокупности для проведения выборочного наблюдения, составляет выборочную совокупность.

По способу отбора единиц в выборочную совокупность выборка бывает повторной и бесповторной. Повторной называется выборка, при которой каждая отобранная единица возвращается в генеральную совокупность для последующего отбора и может повторно попасть в выборку. При этом численность генеральной совокупности остается неизменной. Обычно выборочное наблюдение проводится способом бесповторного отбора, при котором единица, попавшая в выборку, не возвращается в генеральную совокупность и дальнейший отбор производится без отобранных ранее единиц. При этом численность генеральной совокупности уменьшается на величину выборочной совокупности.

Этапы составления плана выборочного наблюдения:

1. Цель наблюдения - получение достоверной информации для выявления закономерностей развития явлений и процессов.

2. Объект наблюдения - некоторая статистическая совокупность, в которой протекают исследуемые социально-экономические явления и процессы. Чтобы определить объект статистического наблюдения, необходимо установить границы изучаемой совокупности. Для этого следует указать важнейшие признаки, отличающие его от других сходных объектов.

3. Единица наблюдения - составной элемент объекта, являющийся носителем признаков, подлежащих регистрации.

4. Программа статического наблюдения - это перечень признаков.

5. Способ и форма отбора единиц в выборочную совокупность.

Практическая работа № 10

«Построение уравнения линейной регрессии»

Цель: - научиться производить расчет параметров уравнения линейной регрессии.

Обеспечение:

Задание для выполнения работы, статистические данные для расчета параметров уроавнения.

В результате выполнения данной работы у студента должны формироваться общие и профессиональные компетенции.

В результате выполнения данной работы студент должен

уметь:

Рассчитывать параметры уравнения линейной регрессии и строить уравнение.

знать:

Методы оценки связи с помощью уравнения линейной регресии.

Основной частью практической работы со студентами является закрепление приемов и методов изучения тесноты связи на основе заранее подготовленной преподавателем исходной информации, содержащей индивидуальные данные.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Вспомним, что для количественного описания взаимосвязей между экономическими переменными в статистике используют методы регрессии и корреляции.

Регрессия - величина, выражающая зависимость среднего значения случайной величины у от значений случайной величины х.

Уравнение регрессии выражает среднюю величину одного признака как функцию другого.

Линия регрессии - график функции у = f (x).

Линейная - регрессия, применяемая в статистике в виде четкой экономической интерпретации ее параметров: у = а+b*х+Е;

Парная регрессия - регрессия между двумя переменными у и х, т.е. модель вида: у = f (x)+E, где у- зависимая переменная (результативный признак); x - независимая, обьясняющая переменная (признак-фактор); E- возмущение, или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных факторов в модели. В случае парной линейной зависимости строится регрессионная модель по уравнению линейной регрессии. Параметры этого уравнения оцениваются с помощью процедур, наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов (МНК) - метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции.

Экономический смысл параметров уравнения линейной парной регрессии. Параметр b показывает среднее изменение результата у с изменением фактора х на единицу. То есть МНК заключается в том, чтобы определить а и а, так, чтобы сумма квадратов разностей фактических у и у. вычисленных по этим значениям a0 и а1 была минимальной:

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров а 0 и а 1 :

Решение системы уравнений позволяет получить выражения для параметров а 0 и а 1 :

1.5.1. По строительному предприятию города известны следующие данные:

Таблица 1.6

Построить ряд распределения рабочих по стажу, образовав четыре группы с равными интервалами. Для изучения зависимости между стажем и выработкой рабочих-сдельщиков произведите: 1) группировку рабочих по стажу. Каждую группу охарактеризовать: числом рабочих, средним стажем работы, выработкой продукции всего и в среднем на одного рабочего;

2) комбинационную группировку по двум признакам: стажу работы и выработкой продукции на одного рабочего.

Для построения ряда распределения необходимо вычислить величину интервала группировочного признака (стаж работы):

гдеX max и X min – значение признака; n – число образуемых групп.

Для нашего примера величина интервала будет равна года.

Следовательно, первая группа рабочих будет со стажем 2–6 лет, вторая – 6–10 и т.д. По каждой группе подсчитаем численность рабочих и оформим в табл. 1.7.

Таблица 1.7

Распределение рабочих по стажу работы

В ряду распределения, для наглядности, изучаемый признак исчисляют в процентах. Результаты первичной группировки показали, что 60,0% рабочих имеют стаж до 10 лет, причем поровну от 2–6 лет – 30% и от 6–10 лет – 30%, а 40% рабочих имеют стаж от 10 до 18 лет.

Для изучения зависимости между стажем работы и выработкой необходимо построить аналитическую группировку. В основании ее возьмем те же группы, что в ряду распределения. Результаты группировки представим в табл. 1.8.

Таблица 1.8

Группировка рабочих по стажу работы

Для заполнения табл. 1.8 необходимо составить рабочую табл. 1.9.

Таблица 1.9

Разделив графы (4:3); (5:3) табл. 1.9, получим соответствующие данные для заполнения табл. 1.8. И так далее по всем группам. Заполнив табл. 1.8, получим аналитическую таблицу.

Рассчитав рабочую таблицу, сверяем итоговые результаты таблицы с данными условиями задачи, они должны совпадать. Таким образом, кроме построения группировок, нахождения средних величин, проведем еще арифметический контроль.

Анализируя аналитическую таблицу 1.8, можно сделать вывод о том, что и изучаемые признаки (показатели) зависят друг от друга. С ростом стажа работы постоянно увеличивается выработка продукции на одного рабочего. Выработка рабочих четвертой группы на 99,1 руб. выше, чем первой или на 44,5%. м ы рассмотрели пример группировки по одному признаку. Но в ряде случаев для решения поставленных задач эта группировка является недостаточной. В таких случаях переходят к группировке по двум или более признакам, то есть к комбинационной. Произведем вторичную группировку данных по средней выработке продукции. Для построения вторичной аналитической группировки по средней выработке продукции в пределах первоначально созданных групп определим интервал вторичной группировки, выделив при этом три группы, т.е. на одну меньше, чем в первоначальной группировке.

Тогда руб.

Больше групп брать нет смысла, будет очень маленький интервал, меньше – можно. Итоговые данные по группе рассчитываются как сумма стажа по группе, например по первой 19,5 лет делится на число рабочих – 6 человек, получим 3,25 года.

Каждую группу охарактеризуем числом рабочих, средним стажем работы, средней выработкой – всего и на одного рабочего. р асчеты представлены в табл. 1.10.

Таблица 1.10

Группировка рабочих по стажу и средней выработке продукции

Данные таблицы показывают, что выработка продукции находится в прямой зависимости от стажа работы.

Иногда первоначальная группировка не позволяет четко выявить характер распределения единиц совокупности, либо для приведения к сопоставимому виду группировок, с целью проведения сравнительного анализа, необходимо имеющуюся группировку несколько изменить: объединить ранее выделенные относительно мелкие группы в небольшое число более крупных типичных групп или изменить границы прежних групп с тем, чтобы сделать группировку сопоставимой с другими.

1.5.2. Имеются данные двух отраслей предприятий о стоимости основных фондов:

Таблица 1.11

Сравните структуру предприятий по стоимости основных фондов.